向量夹角与精度

先把题目说成人话

守卫只需要判断目标是否走进面前的扇形区域，手电筒只需要判断光束是否对准物体，瞄准提示还可能要分清目标在左还是在右。这些现实问题都可以先看成“两支箭头朝得有多像”。但箭头长短会干扰比较，长度几乎为零的箭头甚至没有方向；若忽略这些前提，边界附近就会闪烁或突然得到无效结果。

同时带方向和长度的箭头叫向量（Vector），把它缩成长度为一而不改方向叫归一化（Normalize）。两支单位箭头的重合分数叫点积（Dot Product）：同向接近一、垂直接近零、反向接近负一。只有确实需要显示具体角度时，才把这个分数交给反余弦函数（acos）；只做范围门槛时，直接比较分数更合适。

这是虚构教学故事，不是个人项目经历。

场景：先让问题变得看得见

假设聚光判定要求目标进入角色前方的一小块扇区。先准备三种能直接画出来的情况：一支箭正对前方，一支箭与它垂直，还有一支箭短到没有可用方向。前两种有明确几何关系，最后一种不能硬塞进任何角度。

（右脑）画面：把两支箭放在同一张透明纸上，先沿各自方向把它们缩成一样长，再让尾端重合。两支箭完全叠住时，方向最相近；张成直角时互不偏向；箭头相背时方向最远。守卫面前还画着一条固定边界线，只要目标箭落在边界以内，就已经得到“看得见或看不见”的答案，不必再量整段圆弧。若其中一支箭缩成了一个点，纸上根本没有可比较的朝向，应该把这次输入交给上层决定，而不是伪造一个角度。

（左脑）对表：本题对象是同一坐标空间中的 a、b，长度平方、单位方向、点积和可选参考轴 n。前向与正上应为 90°、零向量没有方向是定义和基线事实；“acos(dot(a,b)) 对任意输入都成立”是假设。证据来自 CPU 参考值、Shader 非法输入染色和目标平台 half/float 对照。向量可有长度单位，归一化方向、余弦和点积门槛无量纲，acos/atan2 输出通常是弧度；eps2 必须与长度平方同量纲。有向角还要求投影平面和单位 n。两箭头类比解释方向关系，但不等于证明未归一化、异空间或零长度输入也满足公式。

小明：先形成一个完整猜测

小明直接写 acos(dot(a,b))。当向量长度不是 1 时，点积不再是余弦；接近同向时，舍入又可能给出 1.0000001，acos 返回 NaN。失败说明：公式的前提没有满足，不能把函数名当证明。

小红：把猜测放回现实检查

小红先把“没有方向”变成显式返回值，再处理正常输入。函数成功时输出弧度；任一向量过短时返回 false，调用方必须决定跳过、沿用上一方向还是使用项目约定的备用值：

bool TryUnsignedAngle(float3 a, float3 b, float eps2,
                      out float angleRadians)
{
    float la2 = dot(a, a);
    float lb2 = dot(b, b);
    if (la2 < eps2 || lb2 < eps2)
    {
        angleRadians = 0.0; // 只是初始化，不代表零向量夹角为 0
        return false;
    }

    float3 an = a * rsqrt(la2);
    float3 bn = b * rsqrt(lb2);
    float c = clamp(dot(an, bn), -1.0, 1.0);
    angleRadians = acos(c); // HLSL acos 返回弧度
    return true;
}

若只判断 30° 扇区，在通过同一长度检查并得到 an/bn 后，直接比较 dot(an,bn) >= cos(radians(30))，无需计算角度。

我：用检查结果修正模型

我区分无符号角与有向角。length(cross(a,b)) 只有面积大小，没有左右符号。若需要绕参考法线 n 的有向角，先把 n 归一化，把 a/b 投影到与 n 正交的平面并检查投影长度不为零；归一化为 an/bn 后再使用

atan2(dot(n, cross(an, bn)), dot(an, bn))。

若只需更稳定的无符号角，也可用 atan2(length(cross(an,bn)), dot(an,bn))。有向公式只对“绕 n 的平面内角”成立；未投影的三维向量会把轴外分量混进结果。所有量都明确在同一坐标空间中计算；法线在世界空间、视线在视图空间时，点积即使数值合法也没有几何意义。最终在 Unity Shader 的目标精度、平台编译结果、零长度与投影后退化输入下回归，而不是只验证一对整齐向量。

（右脑）画面修正：小明直接写 acos(dot(a,b))，非单位输入先让点积失去余弦意义，近同向舍入到 1.0000001 又让 acos 产生 NaN；零向量案例还说明“没有方向”不能硬塞成 0°。小红先检查长度平方，退化时显式返回 false，正常时归一化并把点积夹回 [-1,1]，于是模型改成“先取得合法方向，再选择阈值、无符号角或绕指定轴的有向角”。clamp 只防舍入越界，不能替代长度、空间和投影平面的前提检查。

（左脑）严格对表：先算 la2=a·a、lb2=b·b；若任一小于与长度平方同量纲的 eps2，返回无有效角。否则 an=a/√la2、bn=b/√lb2，c=clamp(an·bn,−1,1)。无符号角可取 acos(c)，或用 atan2(|an×bn|,c)；只判阈值 α 时直接比较 c≥cos(α)。绕参考轴 n 的有向角须先归一化 n，将 a、b 投影到 n 的正交平面并再次检查长度，再算 atan2(n·(an×bn),an·bn)。验收覆盖同向、反向、垂直、零向量、近边界、异空间防护和目标 Shader 精度；clamp 不能替代前提检查。

老师解惑

• 点积公式：a·b = |a||b|cosθ，所以 θ = acos((a·b)/(|a||b|))。
• 合法域：理论余弦在 [-1,1]，浮点计算后应 clamp；但 clamp 不能替代零长度检查。
• acos 的代价与必要性：阈值判定比较余弦即可；只有输出角度时才需要反三角函数。
• 有向角：符号必须来自参考轴与叉积的点积；单独的叉积长度无法分左右。
• 空间一致性：参与点积、叉积的向量必须处在同一坐标空间并有明确单位/归一化约定。

工具分工

• vector-angle-precision Lab：观察点积、叉积、零向量与近共线边界。
• Shader 调试颜色：把非法输入、阈值内外和左右符号分别染色。
• CPU 参考实现与单元测试：覆盖同向、反向、垂直、零长度和近边界输入。
• 目标平台抓帧：核对 half/float 与编译器优化后的实际结果。

记忆钩子

先检查长度和空间，再把点积夹回合法域；只做门槛判断，就别多算一个 acos。