Bezier 曲线

先把题目说成人话

想象摄影机沿一条弯弯的轨道滑过三个取景点：美术要能拖动轨道改变形状，关掉编辑器再打开，轨道也不能走样；播放时还希望它像沿地面刻度匀速前进，而不是在直处猛冲、弯处磨蹭。这种由控制点拉出平滑路径的方法叫贝塞尔曲线（Bezier）；把它做成可靠的游戏引擎工具，还要同时处理保存、撤销、朝向和真实路程。

这是虚构教学故事，不是个人项目经历。

场景：先让问题变得看得见

一台轨道相机要在 4 秒内经过三个构图点。美术拖动端点旁边的拉杆，把两段轨道拗成一个 S 形；现在接缝像折了一下，而且播放条明明均匀前进，相机却在直处猛冲、弯处放慢。关闭编辑器再打开，轨道形状、接缝规则和播放结果还必须保持一致。

先不要给这些部件起名字。这里其实有三件独立的事：拉杆决定路长什么样；接缝决定两段路能否顺着接上；沿路插下的等距离小旗决定相机每秒真正走多远。把三件事混成一个滑块，正是“看起来平滑却走不匀”的来源。

（右脑）画面： 一辆玩具车沿着弯曲铁轨前进。轨道旁原本只有一排刻度牌，弯道里的牌挤得很密，直路上的牌隔得很远；车若每次都从一块牌跳到下一块，就会在弯道慢下来、到了直路又突然窜出去。两段轨道的端头虽然碰在一起，出口若朝错了方向，车经过接缝时还是会猛地甩一下车头。

（左脑）对表： 现在把画面逐项落回实现。每段的两个端点和两只拉手依次记为四个控制点，统一保存在轨道物体的局部空间；曲线函数根据一个无量纲的段内进度返回局部位置，一阶导数返回前进方向。编辑时修改的仍是这同一组序列化数据，运行时先把需要的点和方向变换到同一空间，再求值。另一条缓存按项目世界单位累计相邻样点距离，把“目标路程”反查为“段号和段内进度”；只有项目明确约定 1 Unity unit=1 米时，这个长度才可直接标成米。证据分别来自接缝两侧方向、等距离小旗、瞬时速度和保存重开结果；开闭环、零长度方向和近似误差是必须单独处理的边界。

小明：先形成一个完整猜测

小明先把每段采样数从 32 提到 256。曲线的显示折线确实更细了，但相机仍然忽快忽慢。这次尝试没有白做：它排除了“预览线太粗导致视觉跳动”，也说明增加均匀 t 采样只能减小曲线近似误差，不能把 t 变成路程。

他又把接缝两端的位置重合，断口消失，方向却仍突然改变。证据表明这里只满足位置连续 C0；如果只让两边手柄共线同向，得到的是几何上的切向连续 G1。若还要求相同参数尺度下的一阶导数相等，手柄方向和对应长度关系都要匹配，才是 C1。

小红：把猜测放回现实检查

小红先固定控制点，只改播放方式。编辑结束后，她按小段采样曲线，把相邻样点距离累加成一张“累计路程 → 段号与 t”的查找表。运行时根据速度累计目标路程，用二分查找找到路程所在区间，再在两个样点之间插值得到近似 t。相机改为按路程前进后，速度曲线稳定了；控制点没有变化，因此变化只能来自重参数化。

随后她固定播放逻辑，只拖动一个控制点。若 Scene 视图通过 SerializedObject 与 SerializedProperty 修改，就在 ApplyModifiedProperties 时让 Unity 记录撤销并标记改动；若脚本直接改对象字段，则先 Undo.RecordObject，修改 Prefab 实例属性后再调用 PrefabUtility.RecordPrefabInstancePropertyModifications 记录覆盖，非场景资产按保存路径需要标记为 dirty。两条路径选一条走完整，不把它们当成必须叠加的仪式。撤销、重做、保存并重新打开场景后，控制点仍与画面一致，这才证明“可编辑”不是只在当前一帧里能拖动。

我：用检查结果修正模型

我把实现拆成四层：

1. 数据层：可序列化节点数组，明确局部空间、开闭环和手柄约束模式。
2. 求值层：三次 Bezier 公式求位置，一阶导数求切线；切线长度接近零时沿用上一帧合法方向，避免朝向突然失效。
3. 编辑层：CustomEditor 或 EditorTool 通过 SerializedObject、Handles 和 Unity Undo 修改同一份资产。
4. 播放层：缓存弧长表，按路程查 t；控制点改变时重建，而不是每帧重复计算整张表。

弧长表是数值近似，不是精确解析解。采样越密，速度误差通常越小，表也越大；急弯应自适应加密，直段可以稀疏。朝向也不能只拿切线就结束：轨道相机还需要稳定的 up 参考或平行移动框架，否则接近竖直方向时可能翻滚。

本页不能代替本人的真实经历；若把这套方法当作项目案例，还必须换成真实工具的代码、编辑器截图、使用者反馈和失败记录。

（右脑）画面修正： 小明只是把轨道旁的牌插得更多，车走过的路线看起来更细了，忽快忽慢却没有消失；他又把两段轨道的端头碰在一起，车轮不再跨过缺口，车头仍会突然转向。小红改用卷尺沿轨道每隔相同距离插一面旗，车才稳定下来；她还把接缝两侧的朝向调顺，让车能够自然驶过。最后把轨道保存、关闭再打开，车仍沿同一条路行驶，这次修改才算真正留下来。

（左脑）严格对表： 实现顺序是：用三次 Bezier 公式和一阶导数在统一空间求位置与切线；对相邻段分别验 P3=Q0、切线同向以及需要时的一阶导数相等；按误差阈值采样并构建单调的累计长度表。开放路径令 L 为总长、s=clamp(v·elapsed,0,L)；本题要求 4 秒走完时取 v=L/4。闭环路径则令 s=(v·elapsed) mod L。运行时二分定位 s 所在区间并插值得到段号与 t，控制点变化时重建缓存。验收条件是速度误差、接缝角度、零切线回退、Undo/Redo 和保存重开均在项目阈值内，而不是“看起来顺”。

老师解惑

• 三次曲线位置为 P(t)=(1-t)³P0+3(1-t)²tP1+3(1-t)t²P2+t³P3。
• 一阶导数给出切线方向；t 均匀只表示参数均匀，不保证走过的距离均匀。
• 弧长表把“走了多远”近似映射回“该取哪个 t”。它的误差必须用实际速度曲线或等距离标记验证。
• Scene 视图若经 SerializedObject 修改，就让 ApplyModifiedProperties 负责撤销记录与脏状态；若直接改字段，则走 Undo.RecordObject，Prefab 实例再记录 property modifications，非场景资产按保存路径处理 dirty。不要把两套编辑路径混成一套固定步骤。

工具分工

• Unity Scene 视图与 Handles：编辑节点、手柄并显示切线、接缝和等距离刻度。
• SerializedObject、Undo、ScriptableObject：负责可靠编辑、撤销与持久化。
• 运行时调试图：同时画 t、累计路程和瞬时速度，用来验证“看起来顺”是否真的接近匀速。
• bezier-ik Lab：观察控制点、求值、切线与弧长采样之间的关系。

记忆钩子

Bezier 负责画路，Unity 编辑链负责保存路，弧长表才负责按真实路程走路。