第 13 课：Oriented Line Circle Intersection

我的解：目标：用“方向对准”来判断线是否可能与圆相交。

我的解

uniform float iTime;
uniform vec2 iResolution;

void main() {
  vec2 uv = gl_FragCoord.xy / iResolution.xy;
  uv *= 2.0;
  uv -= 1.0;
  uv.x *= iResolution.x / iResolution.y;

  vec2 a = vec2(1.0, 0.0);
  vec2 b = a + vec2(cos(iTime), sin(iTime));

  vec2  a2b = b - a;
  vec2  n = normalize(vec2(a2b.y, -a2b.x));
  float d = -dot(n, a);

  float line = 1.0 - smoothstep(0.04, 0.05, abs(dot(uv, n) + d));

  vec2  circleCenter = vec2(-1.0, 0.0);
  float circleRadius = 0.5;
  float circle = 1.0 - smoothstep(0.49, circleRadius, distance(circleCenter, uv));

  float centerDist = length(a - circleCenter);
  vec2 leftVec = vec2(-1.0, 0.0);
  float cosAngle = abs(dot(leftVec, normalize(a2b)));

  float tangentEdge = sqrt(pow(centerDist,2.0)-pow(circleRadius,2.0));
  float tangentCos = tangentEdge/centerDist;

  float intersect = step(tangentCos,cosAngle);

  vec3 shapeColor = mix(vec3(0.38, 0.12, 0.93), vec3(1.0, 0.3, 0.3), intersect);
  vec3 result = mix(vec3(0.12), shapeColor, clamp(line + circle, 0.0, 1.0));

  gl_FragColor = vec4(result, 1.0);
}

复盘笔记

• 目标：用“方向对准”来判断线是否可能与圆相交。
• 核心计算：
• 1. 线段方向 \hat{d}=\mathrm{normalize}(b-a)
• 2. 与基向量 ((-1,0)) 的夹角余弦 \cos\phi=|\hat{d}\cdot(-1,0)|
• 3. 由外切几何得到阈值 \cos\theta_t=\sqrt{1-(r/d)^2},\quad d=|a-\mathrm{circleCenter}|
• 4. 若 \cos\phi\ge\cos\theta_t 判为可能相交。
• 直觉：比较“线的朝向”与“圆的切线角”；只要线的方向足够偏向圆，即认为会碰到。
• 优缺点：实现直观，适合可视化；但未计算真实距离，对数值边界需保护（如 (d\le r) 时根号无定义）。
• 目标：直接用几何距离判断相交。
• 核心计算：
• 1. 直线由 \vec{n}\cdot\vec{x}+d=0,\quad d=-\vec{n}\cdot a 定义。
• 2. 圆心到直线距离 |\vec{n}\cdot\mathrm{circleCenter}+d|
• 3. 到圆边的签名距离 s = |\vec{n}\cdot\mathrm{circleCenter}+d| - r
• 4. 若 s\le0线与圆相交或相切。
• 直觉：先求点到线的垂直距离，再减去半径；若结果为负，说明线进入圆内部。
• 优缺点：几何严格、可推广、数值稳定；需保证 \vec{n}已归一化。
• | 方法 | 判定依据 | 关键量 | 精度 | 应用场景 |
• | ----- | --------- | ----------------------------- | --- | ------------ |
• | 角度阈值法 | 朝向是否足够对准圆 | \cos\phi \ vs\ \cos\theta_t | 近似 | 启发式或视觉判断 |
• | 距离场法 | 圆心到线的最近距离 | \vec{n}\cdot p+d-r | 精确 | SDF、抗锯齿、几何计算 |

• 两者都先建立法线式直线 n\cdot x+d=0，

• 角度法比较“方向”，距离场法比较“距离”；

• 若追求通用与稳定，应选 SDF 法。